© Какоткин Роман Викторович. 4 августа 2004 г. 

 

            Утверждение Ферма о невозможности решения уравнения ,  где , в целых числах в целом верно, но далеко не полностью раскрывает свойства двучлена с одинаковым показателем степени. Ферма не указал одной важной детали, которая собственно и является основой доказательства…

 

            Для выражения , значение - иррационально при любых целых, отличных от нуля значениях ,   и , где .

 

            Доказательство приведенного выше утверждения весьма просто, и сводится к выделению иррационального множителя , который является отношением .

 

            Будет удобнее определять отношение корня из суммы к корню наибольшего из слагаемых. Это отношение всегда больше единицы, и всегда меньше корня из двух, или равно (для случая, когда ) корню из двух.

            Далее перейдем непосредственно к доказательству:

 

ДАНО: ,, .

 

ДОКАЗАТЬ: Значение - иррационально при любых целых, отличных от нуля значениях ,   и , где .

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

 

Для случая когда , и его иррациональность очевидна. Для остальных случаев доказательство имеет следующий  вид:

 

Пусть . Поскольку, следовательно .

 

Поскольку , следовательно , и  .

 

Так как  , а ,  - всегда будет иррациональным числом по следующей причине:

 

            Если корень степени , где , из рационального или целого числа является соответственно рациональным или целым числом, то корень этой же степени из суммы этого числа и единицы всегда иррационален.

 

            Данное правило не распространяется на квадратные корни. Например:

 

           

            , а  . И соответственно, а .

 

 

            Поскольку эта закономерность достаточно описана Пифагором, то останавливать на ней внимание не имеет смысла.

 

           

 

ВЫВОД: Для выражения , значение - иррационально при любых целых, отличных от нуля значениях ,   и , где , так как равняется произведению основания наибольшего из слагаемых, являющегося целым числом, на иррациональное число -  корень степени из числа , которое больше единицы и меньше двух, или равно корню из двух, для случая когда .

 

ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА

 

            Таким же способом легко опровергается утверждение Эйлера о невозможности представления в целых числах выражения вида , для . Утверждение о возможности такого представления выглядит следующим образом:

 

            Выражение вида , где , возможно представить в целых числах, так как при его решении иррациональный множитель умножается на иррациональный множитель и дает в результате рациональный множитель.

 

            Полный текст доказательства и расчетов подтверждающих примеров опубликую позже…