Ó 25 сентября 2006 г. Какоткин Роман Викторович.

Диофантовость квадратного бинома

(Поведение функциональных множеств)

ПЕЧАТАЕТСЯ С СОКРАЩЕНИЯМИ.

Проблема:

Определить отличие квадратного бинома от биномов с показателем степени выше двух, позволяющее первому быть разрешимым в числах с натуральными основаниями и рациональных отношениях.

 

Гипотеза:

Отличие заключается в линейности возрастания ряда дифференциалов квадратной, т.е. дифференцируемой два раза функции, для которой ряд ее дифференциалов – полный ряд натуральных нечетных чисел, в то время как ряд дифференциалов n-раз дифференцируемой функции  –  n-1 раз дифференцируем.

 

Теорема:

Утверждение 1.  Для множества значений сложной функции  с натуральным  шагом h, определенной на функции , где, т.е. на множестве натуральных чисел a в натуральной степени n,

 

 

при n>2, для каждого конкретного значения n и для любого h, пересечение множества значений независимой переменной  (аргумента) и множества значений зависимой переменной (функции) – пустое множество,

т.к. обратная функция иррациональна, и не пересекается с множеством определения.

 

Частный случай: Бином степени n+2     не разрешим в рациональных отношениях, следовательно – не разрешим в числах с натуральными основаниями в степени n+2.   (Теорема Ферма)

Утверждение 2.  Для множества значений сложной функции,  определенной на множестве натуральных чисел в степени n=2, пересечение множества значений независимой переменной (аргумента) и множества значений зависимой переменной (функции) – множество значений независимой переменной (аргумента),

следовательно - обратная функция  пересекается с множеством определения.

 

Частный случай: Квадратный бином  разрешим в числах с натуральными основаниями. (Теорема Пифагора)

_{Доказательство:}

_{Доказательства требуют:}

_{1.       Иррациональность сложной функции .}

2.      _{Пересечение  множества значений сложной функции с множеством значений функции .}

Матрица схождения

Рассмотрим поведение рядов значений и  для каждого n и h индивидуально, заполнив, для наглядности, матрицу порядка n эмпирическими значениями сложной дельта функции, определенной на аргументах с номерами от k, до k+n+h, и получив, таким образом, ряды многочленов, интерполирующих с функцией  

 

 

Дельта матрица n-порядка.

 

Примеры дельта матриц для различных значений n и h.

 

В силу конструкции дельта матрицы справедливы следующие утверждения:

 

3.1. Ряд значений дельта функции n-порядка (разностей n-порядка) не дифференцируем, и является стационарной последовательностью, состоящей из одного элемента, равного произведению факториала порядка на шаг приращения дельта функции 1-порядка.

3.2. Ряд значений дельта функции n-1 порядка (разностей n-1 порядка) один раз дифференцируем, возрастает линейно,  с приращением, равным n!h.

3.3. Для  ряда квадратов натуральных чисел,  ряд значений дельта функции 1-порядка является рядом  значений дельта функции n-1 порядка, т.е. один раз дифференцируем, возрастает линейно,  с приращением  значения n!h

3.4. Ряд значений дельта функции с шагом h=1, множеством определения которой является ряд квадратов натуральных чисел -  ряд натуральных нечетных чисел y>2.

3.5.    Ряд натуральных нечетных чисел, содержит в себе любое нечетное число в любой натуральной

степени, в том числе и любое нечетное число в квадрате.

 

3.6. Натуральное нечетное число, в том числе и любое нечетное число с любым натуральным показателем степени, в том числе и с показателем степени n=2, представимо в виде разницы квадратов двух натуральных чисел.

 

 

3.7. Функция иррациональна для  тогда, когда иррациональна функция.

3.8.Рассматривать случаи с шагом h=2k+1 нет необходимости, т.к. для любого из них множество

значений

 

Таким образом доказано утверждение 2 для нечетных значений дифференциалов:

 

4.1. Ряд значений дельта функции с шагом h=2, множеством определения которой является ряд квадратов натуральных чисел -  ряд натуральных четных чисел n!h(k+1).

4.2. Натуральное четное число, в том числе и любое нечетное число с любым натуральным показателем степени, в том числе и с показателем степени n=2, представимо в виде разницы квадратов двух натуральных чисел.

4.3. Функция иррациональна для  тогда, когда иррациональна функция.

 

4.4. Рассматривать случаи с шагом h=2(k+1)  нет необходимости, т.к. для любого из них множество

значений .

 

Таким образом доказано утверждение 2 для четных значений дифференциалов:

 

Выводы:

Утверждение 2 доказано.

Квадратный бином  -  разрешим в рациональных отношениях тогда, и только тогда, когда Диофантов. ÿ

 

P.S. Для полного определения условий диофантовости квадратного бинома необходимо рассмотреть дельта функцию от нулевой точки, но в этом случае формулировка теоремы изменяется. Возможно, это будет сделано автором позже. Продолжение следует…

 

Готовятся к публикации:

1.      Иррациональность радикала от факториала.

2.      Доказательство утверждения 1.

Ó 25 сентября 2006 г. Какоткин Роман Викторович.